- 第1節(jié) 第一章
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鳧雁問題與割圓術(shù)
三國時，魏元帝景元四年 （２６３年） 秋末冬初的一天，劉徽仍在書房里緊張地籌算。窗外，忽然傳來大雁的鳴叫聲，他立起身，走到窗口，看見一行大雁正排成 “人”字，向南方飛去。正是雁南飛的時節(jié)，劉徽剛巧正在運算一個 “鳧雁問題”。
這是 《九章算術(shù)》中的一個問題：一只野鴨從南海飛到北海要用 ７天的時間，一只大雁從北海飛到南海要用 ９天，問：若它們同時從兩地起飛，幾天后相遇？在 《九章算術(shù)》中采取這樣的一種算法：把野鴨和大雁所需的飛行天數(shù)相加作為除數(shù)，把飛行的天數(shù)相乘作為被除數(shù)，兩數(shù)相除的結(jié)果即是相遇的天數(shù)。算式是：
７×９７＋９＝６３１６＝３１５１６在 《九章算術(shù)》中只說明了解題的方法，沒有說明這樣做的原因。劉徽所做的就是解釋這種解題方法的工作。為求野鴨與大雁相遇的天數(shù)，就應(yīng)求它們能共同飛完全程的天數(shù) （最小公倍數(shù)），即將野鴨的 ７天乘以大雁的 ９天，得出 ６３天的數(shù)字。這就是說，在 ６３天中野鴨可全程飛完 ９次，大雁可全程飛完 ７次。
如果野鴨和大雁一起飛行這段時間，就一共飛行了 ７＋９次即 １６次，或者說它們可以相遇 １６次，這樣野鴨和大雁合作全程飛行一次，就只需要６３１６＝３１５１６天。按照題意列出算圖：
（天數(shù)次數(shù)）（ ９ ７大雁１次野鴨１次）→６３７ ６３９合作→ （６３７＋９）“鳧雁問題”是 《九章算術(shù)》 中 “均輸” 章里的一個問題。
劉徽是用比例算法來運算的，這說明魏晉時的數(shù)學家們認識到：
“比”是數(shù)量之間的聯(lián)系，“分數(shù)”是一種數(shù)，“除法” 是一種運算方法。
《九章算術(shù)》是我國古代最早的數(shù)學著作之一，它可能是經(jīng)過許多人增補刪訂而成的。全書共收集了 ２４６個數(shù)學問題與解法，并分為 “方田”、“粟米”、“衰分”、“少廣”、“商功”、“均輸”、 “盈不足”、 “方程”、及 “勾股” 等九章。劉徽見到的《九章算術(shù)》存在一些遺殘，也有一些刪補痕跡。于是，他就決心給 《九章算術(shù)》作注，對其中的問題作詳盡的講解。
劉徽的工作很有價值，并有不少創(chuàng)見：
如在注釋第四章 “少廣”時，有幾道問題是由已知的面積和體積反求一邊之長，這種問題講的是開平方或開立方的方法。運算中，劉徽認為開方開到個位還開不盡，就應(yīng)當繼續(xù)往下開，求其 “微數(shù)”。這 “微數(shù)”就是現(xiàn)代數(shù)學中的小數(shù)，它是我國古代數(shù)學研究中對十進位制的成功運用，并采用十進位制分數(shù)的方式來標示小數(shù)。其微數(shù)第一位數(shù)以 １０為分母，第二位數(shù)以 １００為分母，第三位數(shù)以 １０００為分母。如 ３.１４１６，劉徽就把它寫成：
３１１０４１００１１０００６１００００這雖然不是現(xiàn)代小數(shù)的標準寫法，但卻也是一種小數(shù)的準確表述，比 １５８５年比利時數(shù)學家斯蒂文發(fā)明的小數(shù)概念和記述法要早 １３００多年。
又如 《九章算術(shù)》第一章 “方田”，在計算圓形田畝的面積時，采用了傳統(tǒng)的 “周三徑一” 的說法，將 “圓周率” 定為 ３。
劉徽認為，這個數(shù)字誤差太大，在注釋時，他創(chuàng)造出一種當時最新最科學的計算圓周率的方法： “割圓術(shù)”。他說： “割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。”
這話的意思是：在圓內(nèi)作圓內(nèi)接正多邊形，從正 １２邊形、正 ２４邊形、正 ４８邊形、正 ９６邊形……邊數(shù)越多越接近于圓的周長。
而這種圓內(nèi)接正多邊形的邊長正好可利用圓的直徑來運算。利用割圓術(shù)，劉徽求到圓內(nèi)接正 １９２邊形，圓周率為 π≈１５７５０＝３.１４。
后來，他還繼續(xù)求到圓內(nèi)接正 ３０７２邊形時，圓周率 π值≈３９２７１２５０＝３.１４１６。這個結(jié)果是當時世界上最科學的一個數(shù)值�？梢妱⒒盏� “割圓術(shù)”是一種十分先進的方法。兩百多年后，祖沖之利用割圓術(shù)求得了更精密的圓周率。
劉徽還另外撰寫了一章 “重差”，作為 《九章算術(shù)》 的第 １０卷。因其中第一題是一個測望海島山峰而推算它的高、遠的問題，所以后來的學者便將它從 《九章算術(shù)注》中分離出來，定名為 《海島算經(jīng)》。 《海島算經(jīng)》 標志著我國古代幾何學的杰出成就：主要講述利用標桿進行兩次、三次以及更復雜的四次測量目標物的高和遠的計算方法。劉徽利用相似三角形的性質(zhì)，創(chuàng)造了一種 “重差術(shù)” （或稱二重差分法），用來測量目標物的距離、高度或深度等，從而構(gòu)成了我國古代地圖學的數(shù)學基礎(chǔ)。
《九章算術(shù)》 經(jīng)過劉徽的注釋，就更為系統(tǒng)和完善。在唐代它和 《海島算經(jīng)》 都被列為 《算經(jīng)十書》 之一，作為唐朝國子監(jiān)算學館 （相當于國家設(shè)立學校中的數(shù)學科） 學生必讀的教科書。
在算完 “鳧雁問題” 之后，劉徽便將 《九章算術(shù)注》 全部完成了。這是他從少年時接觸到這部書時立下的心愿。干完這件事后，他就將書稿交給朋友們?nèi)タ蹋约簞t像大雁南飛一樣，浪跡天涯去了。
劉徽后來還撰寫了一卷 《九章重差圖》，可惜沒有流傳下來。
為了求得由底為直角三角形直棱柱分割而成的一個四棱錐與一個三棱錐的體積之比，他采用無限分割、逐次拼合的方法建立了 “劉徽原理”，這使得他在數(shù)學史上留下了不朽的一頁。
史書上劉徽無傳，近人據(jù)有關(guān)資料推測他是公元 ２２５—２９５年間的人士。 《宋史·禮》 中有關(guān)記載表明，宋徽宗大觀三年（１１０９年）曾敕封劉徽為淄鄉(xiāng)男的爵位，以表示對他的褒獎。若依按籍貫封爵的慣例，可以推測他是淄鄉(xiāng) （今山東鄒平縣）人。
由于劉徽的成就，人們稱他為 “中國的歐幾里得”。
閃亮數(shù)學界的小行星——— “祖沖之星”
南北朝劉宋孝武帝大明六年 （４６２年），對于年僅 ３３歲的祖沖之 （４２９—５００年）而言，是他人生歷程中關(guān)鍵性的一年。
這年一天的正午時分，祖沖之循例測量和記錄了銅表的日影，然后踱進書房。他興致很高地喊： “!兒！來幫爹爹磨墨。”
將近十歲的祖!之應(yīng)聲而來，捋起衣袖磨起墨來，邊磨墨邊看爹爹寫字，在父親的點撥下，他已認識不少字，這次，他認識父親寫下的頭行的三個字：“大明歷”。
祖沖之，是范陽郡遒縣 （今河北淶源縣北） 人。他的祖父、父親都很喜愛數(shù)學，對于文學也很有研究。在家學的熏陶下，祖沖之從小就喜愛數(shù)學和天文歷法，后來又進入華林學省學習并從事科學研究。南朝劉宋于元嘉二十二年 （４４５年） 頒用何承天制定的 《元嘉歷》。使用過幾年后，祖沖之發(fā)現(xiàn) 《元嘉歷》 比古代前十一家歷法嚴密一些，但祖沖之認為還是有疏漏之處，于是從２３歲起他就決心修訂歷法。為此，祖沖之每天正午時刻都要測量圭表上的日影，來驗證歷法的精確度。經(jīng)過整十年的觀察、測算，他發(fā)現(xiàn) “冬至所在，歲歲微差”，于是他就把歲差的存在應(yīng)用到歷法的編制中去。祖沖之測定歲差為 ４５年 １１月差 １度 （這與現(xiàn)代天文學測算的結(jié)果相比，只差 ５０.２秒，真是驚人�。�。祖沖之還測定舊歷法 １９年 ７閏不夠精確，那樣編歷每隔 ２２０年就會出現(xiàn) １天的誤差。于是，他認為應(yīng)該采用新閏周，即 ３９１年安排 １４４個閏年，按新閏周每隔 １７３９年才會產(chǎn)生 １天的誤差。祖沖之還測算出：木星 （古代稱為歲星） 每 ８４年超辰一次，即求出木星公轉(zhuǎn)周期為 １１.８５８年；回歸年長度為 ３６５.２４２８日，與當今測值只差萬分之六日……經(jīng)過數(shù)十年不間斷的觀測，祖沖之終于制定了自己的歷法。現(xiàn)在他決定把這歷法上呈給皇帝，并要求改用新歷，因為該歷法完成于孝武帝大明六年，故署名為 《大明歷》。年幼的祖!之所看到的，正是祖沖之寫給孝武帝的奏章。
祖沖之請求改頒 《大明歷》的奏章放在孝武帝劉駿的案頭已經(jīng)好幾天了。孝武帝一直決斷不了，最后他決定在朝廷上作一次廷議，實際上是讓群臣們作一次辯論，再行決斷。
廷議時，開始是祖沖之講述制定新歷的經(jīng)過，并詳盡講述《大明歷》處理歲差、采用新閏周的好處。祖沖之因是爛熟于心、深思熟慮，所以講得簡明精要，很能說服人。
祖沖之剛講完，主管歷法的大臣戴法興就猛地站起來，以權(quán)威的姿態(tài)說： “太陽運動，時慢時快，無規(guī)律可循，所以用什么歷法都行。再則，現(xiàn)行歷法為古代圣賢所創(chuàng)，已經(jīng)沿用了多少年，我看沒有必要改歷�！� 他還列舉了 《大明歷》 與古代歷書不同之處，指責祖沖之攻擊先賢。
祖沖之針鋒相對地說： “戴大人開口古歷、閉口古歷，似乎古人的歷法已十全十美，不可變絲毫。我也認真研究過古歷，閱過唐篇、商典，它們也是經(jīng)過不斷修正的，既承襲尊重古人的成就，又發(fā)揚光大古人的傳統(tǒng)。這說明前人有疏漏之處，才要修正，古人自己都不迷信古人，我們何必還要迷信古人呢？”
戴法興惱怒起來： “放肆！即便要改歷，可這天上的日月星辰的快慢變化，也決不是凡夫俗子可以推算出來！”
祖沖之胸有成竹地答： “大人不必發(fā)怒。你說過太陽冬至日的位置在建星，年年如此，沒有差異。據(jù)我考證，這種說法是戰(zhàn)國、秦漢時的偽造，戴大人可曾驗證過嗎？至于太陽現(xiàn)在的位置在哪里，我們可以按月食時月亮所在的位置來推算�！� 說著，他翻開 《太史令》上的月食記錄，對戴法興說： “這四次月食，月亮所在的位置都有記錄。月食時，月亮在太陽相對應(yīng)的位置上，這樣便可準確地推算出太陽的位置，與我的新歷法完全相符�？梢�，太陽每年冬至日的位置都會有一些小小的差異。我們豈能迷信古書，而不管事實呢？”
無話可說的戴法興干脆蠻橫地講： “歷法是古人制定的，代代相傳，萬世不能更改。即使有差錯，也應(yīng)該永遠照用！”
對此，祖沖之用輕蔑的眼光看了看戴法興，接著面向孝武帝說：“十九年七閏法已沿用幾百年了，與天象愈來愈不相符。在我之前，已有人發(fā)現(xiàn)過它的差錯。如果古歷永不能改，即使有差錯，不合天象，也不能改。那么豈不是說先帝改頒何承天的 《元嘉歷》也不必要了嗎？那現(xiàn)在何不還是用漢代的歷法呢？”
祖沖之舉出先帝劉義隆改頒 《元嘉歷》的例證，使得戴法興啞口無言，再也不敢狡辯。孝武帝見自己寵臣戴法興的狼狽模樣，感到左右為難，便緩和一下氣氛，轉(zhuǎn)而問另一位大臣巢尚文：“愛卿，你的意見如何？”
巢尚文很欽佩祖沖之的學識，見孝武帝詢問他的意見，他躬身施禮后說： “皇上，臣以為祖沖之的 《大明歷》 是有道理的，比古歷有許多好處。我還知道，祖沖之確實用新歷法計算過以往２３年的日月食發(fā)生的時間，每次計算結(jié)果都與史書記載的實情相符。今天祖沖之話急了一些，沖撞了戴大人，但他也是為國為民呀！”
巢尚文一席話實際上是希望孝武帝采用 《大明歷》，百官也大都稱是。但戴法興一伙大臣硬不改口，孝武帝也不好當場表態(tài)，便對祖沖之說：“祖沖之，回去把你的理由寫來，送朕一閱，再定�！�
退朝后，祖沖之心潮難平，連夜寫成 《辯戴法興難新歷奏章》一文，呈上孝武帝。但是深受皇上寵信的戴法興竭力反對，所以 《大明歷》便一直被扣壓，不能頒用。祖沖之只有陷于長期的等待之中。
雖然歲月沒按祖沖之的 《大明歷》來計算，但是祖沖之卻以新的成就來計算這等待的時日。自大明六年之后，祖沖之又干出許多成就。他仿照前朝的巧匠魯班、馬鈞制造出新型指南車，并用銅齒輪代替木齒輪；他制成一種水碓磨，利用水力來舂米磨粉；他發(fā)明一種千里船，可以日行百余里；為了天文測量計時的準確，他改制了漏壺。更有哲理意味的是，祖沖之按孔子的解釋重新仿制了 “欹器”。欹器空時側(cè)倒，滿時也側(cè)倒，不多不少時就穩(wěn)穩(wěn)正正。這可給人以一種啟示，如飲酒時，若放一個欹器于座右邊，它將提醒你不要過與不及，古人又將欹器稱為 “宥坐之器”。這足見祖沖之在機械制方面的才干與巧思。祖沖之還精通音律，有許多文史論著，如 《易老莊義》、 《論語考經(jīng)釋》 等，甚至寫過小說 《述異記》１０卷。然而，祖沖之最著名的論著是數(shù)學方面的，有 《綴術(shù)》、 《九章算術(shù)注》。 《綴術(shù)》 曾被隋唐國子監(jiān)用作算學課本，并傳入朝鮮、日本諸國使用，其中最有世界影響的，就是祖沖之對圓周率的推算。
祖沖之先后在南北朝的劉宋朝和南齊朝中擔任過南徐州 （今鎮(zhèn)江市） 從事史、公府參軍、婁縣 （今昆山縣東北） 令、謁者仆射、長水校尉等官職。他是在就任謁者仆射之職時著手運算圓周率的。這個職位要每天清晨進宮，直到晚上才回家，負責引見臣下，傳達命令。所以祖沖之只能利用晚上的時間，在書房里精心運算。
圓周率，在數(shù)學中稱為 π值。我國的數(shù)學家，從古代起就開始研究圓周率。公元前 １００多年的 《周髀算經(jīng)》 中記載： “周三徑一”即是說圓周率了。西漢末年，劉歆得出圓周率是 ３.１５４７；東漢時，張衡算出圓周率是 ３.１６２２；三國時，東吳天文學家王蕃算出圓周率為 ３.１５５６。
到魏晉時期，著名數(shù)學家劉徽發(fā)明了 “割圓術(shù)”，指出圓內(nèi)接正多邊形的周長逼近圓周長，這圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越增加就越逼近圓周長，其極限就是圓周長。運用這一方法，劉徽將圓周率算到 ３.１４１６，這已是相當精確的數(shù)據(jù)了。面對前人這些成果，祖沖之做了更精確的運算。
祖沖之是借鑒了劉徽的割圓術(shù)來推算圓周率的。起初，祖沖之畫了一個直徑 １丈的大圓，然后在圓內(nèi)畫了一個內(nèi)接正 １２邊形。用尺一量，每邊長 ２尺 ６寸多。為求精確，祖沖之采用勾股法來測算。因為從圓心到每邊的兩點正好構(gòu)成一個等腰三角形。
經(jīng)過運算，祖沖之得出圓內(nèi)接正 １２邊形，每邊長 ０.２５８８１９丈，１２邊總長 ３.１０５８２８丈。
為了加快運算的速度，祖沖之叫來兒子祖!之。祖!之已長大成人，也繼承了家學，成為祖沖之得力的幫手。他們無限加大圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，從 ４８邊形、９６邊形、１９２邊形一直到１２２８８邊形。這時，在那直徑 １丈的圓形圖上要畫出 １２２８８邊形，已經(jīng)只能用針尖來標點了，可以說這一內(nèi)接正 １２２８８邊形已經(jīng)接近于圓形了。在此基礎(chǔ)上，祖沖之運算出圓周率的不足近似值是３.１４１５９２６，圓周率的過剩近似值是 ３.１４１５９２７，即：
３.１４１５９２６＜π＜３.１４１５９２７圓周率已精確到小數(shù)點之后 ７位。
祖沖之還確定了圓周率的兩個分數(shù)形式的近似值：約率 π＝２２７≈３.１４密率 π＝３５５１１３≈３．１４１５９２６直到 １０００年后，德國數(shù)學家奧托和荷蘭工程師安托尼茲才得出與祖沖之相同的密率。于是數(shù)學界通稱為 “安托尼茲率”，隨著我國古代燦爛的科技文化逐漸得到世界的公認，日本數(shù)學家三上義夫建議將這一名稱改稱為 “祖率”。
公元 ５００年，劉宋王朝早為南齊王朝取代，祖沖之的 《大明歷》仍未頒用。這年，祖沖之帶著壯志未酬的心情離開了人世。
這是南齊永元二年的事情。
祖沖之的兒子祖!之繼承了父業(yè)。若從祖沖之的祖父祖昌算起，直到祖!之的兒子祖皓，祖家可稱得上數(shù)學、天文世家。祖!之幼年就是父親的幫手，長大后也致力于數(shù)學和天文學的科研，他讀書和思考時非常專注，甚至不聞霹靂聲、走路撞到別人身上。在數(shù)學上，他與父親祖沖之共同解決了球體積的計算問題。他所提出的推算球體積的原理，在數(shù)學上通稱為 “祖!之公理”。祖沖之撰寫 《綴術(shù)》 一書時，他起了很大的作用。祖!之還監(jiān)造過八尺銅日圭，測量日影長度；他發(fā)現(xiàn)北極星與北天極不動處相差一度有余，糾正了北極星就是北天極的錯誤觀點。他也有許多論著傳世，現(xiàn)大多散佚了。
歷經(jīng)動亂，在梁朝，祖!之歷任員外散騎郎、太府卿、南康太守、材官將軍、奉朝清等官職。因此，祖!之得以在梁武帝天監(jiān)三年、天監(jiān)八年、天監(jiān)九年三次上書，請求梁武帝頒行新歷。
《大明歷》經(jīng)祖!之修訂驗證，被認為是當時最好的歷法，終于在天監(jiān)九年 （５１０年）正式頒用，實現(xiàn)了祖沖之的遺愿。
祖沖之一家堪稱我國歷史上了不起的科學世家；祖沖之也堪稱我國科技史上罕見的最博學多才的人。為了紀念和表彰祖沖之在科學上的卓越貢獻，除將 “密率” 改稱為 “祖率” 外，紫金山天文臺把該臺發(fā)現(xiàn)的一顆小行星命名為 “祖沖之星”，國際天文界還將月球背面的一座環(huán)形山命名為 “祖沖之山”。
中國科學史上的坐標——— 《夢溪筆談》
北宋仁宗天圣九年 （１０３１年），沈括誕生于一個官宦之家。
在知書識禮的母親許氏的撫育下，沈括從小就敏而好學，什么書都讀，打下了博雜的學識基礎(chǔ)。
沈括的父親沈周，杭州人，從縣令一直做到江南東路按察史、太常少卿，在宦海中沉浮了一輩子。沈括曾隨父親到過泉州、開封、南京、蘇州，眼界開闊，上到士大夫、山林隱者，下到商賈 醫(yī) 師、里 巷 小 人，什 么 人 都 請 教，積 累 了 豐 富 的 社 會見識。
沈括自幼就形成了終生受益的學風，也在無意間為撰寫 《夢溪筆談》積累了素材。
汴京城有家酒店，店堂不大，但酒很好。他們賣的酒是在鄉(xiāng)間作坊專門釀造的，選用最好的雜糧、清純的泉水，所以酒味醇香，常常吸引許多酒客。
小店前酒壇特別多。為招攬酒客，老板常把酒壇像疊羅漢似的整齊地堆起來，而且每一層都比下一層少一 個 壇，像 個 金字塔。
這堆酒壇吸引了不少酒客。忽然，有個青年書生來到酒店。
老板想考考他：“客官，你知道這堆酒壇有多少個？”
青年書生說： “我不需要數(shù)，只要你告訴我有幾層，每排有幾個壇子，我便可以一下子告訴你�！�
老板自忖，昨夜我數(shù)了半天，你就能一下算出來嗎？便說：
“最上一層是四排，每排八個，第二層五排，每排九個……從上到下一共七排�！�
老板話音剛完，那青年書生便應(yīng)答道： “總共有五百六十七個酒壇，對嗎？”
老板驚呆了，這正是他昨晚數(shù)得暈頭轉(zhuǎn)向的數(shù)字，他怎么一下子便算出了呢？于是立即請他進店，并親自打開一壇酒，為他斟上一滿碗，然后向他討教是用什么方法算出的。
青年回答： “中間第四層有七十七個壇子，乘上總層數(shù)七，再加上一個穩(wěn)定的數(shù)字二十八就行了�！�
這書生就是青年沈括。他所解答的正是一道高級等差級數(shù)的求和問題，后來他把這些都寫進 《隙積術(shù)》一書之中。
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