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鳧雁問(wèn)題與割圓術(shù)

三國(guó)時(shí)，魏元帝景元四年 （２６３年） 秋末冬初的一天，劉徽仍在書(shū)房里緊張地籌算。窗外，忽然傳來(lái)大雁的鳴叫聲，他立起身，走到窗口，看見(jiàn)一行大雁正排成 “人”字，向南方飛去。正是雁南飛的時(shí)節(jié)，劉徽剛巧正在運(yùn)算一個(gè) “鳧雁問(wèn)題”。

這是 《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：一只野鴨從南海飛到北海要用 ７天的時(shí)間，一只大雁從北海飛到南海要用 ９天，問(wèn)：若它們同時(shí)從兩地起飛，幾天后相遇？在 《九章算術(shù)》中采取這樣的一種算法：把野鴨和大雁所需的飛行天數(shù)相加作為除數(shù)，把飛行的天數(shù)相乘作為被除數(shù)，兩數(shù)相除的結(jié)果即是相遇的天數(shù)。算式是：

７×９７＋９＝６３１６＝３１５１６在 《九章算術(shù)》中只說(shuō)明了解題的方法，沒(méi)有說(shuō)明這樣做的原因。劉徽所做的就是解釋這種解題方法的工作。為求野鴨與大雁相遇的天數(shù)，就應(yīng)求它們能共同飛完全程的天數(shù) （最小公倍數(shù)），即將野鴨的 ７天乘以大雁的 ９天，得出 ６３天的數(shù)字。這就是說(shuō)，在 ６３天中野鴨可全程飛完 ９次，大雁可全程飛完 ７次。

如果野鴨和大雁一起飛行這段時(shí)間，就一共飛行了 ７＋９次即 １６次，或者說(shuō)它們可以相遇 １６次，這樣野鴨和大雁合作全程飛行一次，就只需要６３１６＝３１５１６天。按照題意列出算圖：

（天數(shù)次數(shù)）（ ９ ７大雁１次野鴨１次）→６３７ ６３９合作→ （６３７＋９）“鳧雁問(wèn)題”是 《九章算術(shù)》 中 “均輸” 章里的一個(gè)問(wèn)題。

劉徽是用比例算法來(lái)運(yùn)算的，這說(shuō)明魏晉時(shí)的數(shù)學(xué)家們認(rèn)識(shí)到：

“比”是數(shù)量之間的聯(lián)系，“分?jǐn)?shù)”是一種數(shù)，“除法” 是一種運(yùn)算方法。

《九章算術(shù)》是我國(guó)古代最早的數(shù)學(xué)著作之一，它可能是經(jīng)過(guò)許多人增補(bǔ)刪訂而成的。全書(shū)共收集了 ２４６個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題與解法，并分為 “方田”、“粟米”、“衰分”、“少?gòu)V”、“商功”、“均輸”、 “盈不足”、 “方程”、及 “勾股” 等九章。劉徽見(jiàn)到的《九章算術(shù)》存在一些遺殘，也有一些刪補(bǔ)痕跡。于是，他就決心給 《九章算術(shù)》作注，對(duì)其中的問(wèn)題作詳盡的講解。

劉徽的工作很有價(jià)值，并有不少創(chuàng)見(jiàn)：

如在注釋第四章 “少?gòu)V”時(shí)，有幾道問(wèn)題是由已知的面積和體積反求一邊之長(zhǎng)，這種問(wèn)題講的是開(kāi)平方或開(kāi)立方的方法。運(yùn)算中，劉徽認(rèn)為開(kāi)方開(kāi)到個(gè)位還開(kāi)不盡，就應(yīng)當(dāng)繼續(xù)往下開(kāi)，求其 “微數(shù)”。這 “微數(shù)”就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的小數(shù)，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)研究中對(duì)十進(jìn)位制的成功運(yùn)用，并采用十進(jìn)位制分?jǐn)?shù)的方式來(lái)標(biāo)示小數(shù)。其微數(shù)第一位數(shù)以 １０為分母，第二位數(shù)以 １００為分母，第三位數(shù)以 １０００為分母。如 ３.１４１６，劉徽就把它寫(xiě)成：

３１１０４１００１１０００６１００００這雖然不是現(xiàn)代小數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)寫(xiě)法，但卻也是一種小數(shù)的準(zhǔn)確表述，比 １５８５年比利時(shí)數(shù)學(xué)家斯蒂文發(fā)明的小數(shù)概念和記述法要早 １３００多年。

又如 《九章算術(shù)》第一章 “方田”，在計(jì)算圓形田畝的面積時(shí)，采用了傳統(tǒng)的 “周三徑一” 的說(shuō)法，將 “圓周率” 定為 ３。

劉徽認(rèn)為，這個(gè)數(shù)字誤差太大，在注釋時(shí)，他創(chuàng)造出一種當(dāng)時(shí)最新最科學(xué)的計(jì)算圓周率的方法： “割圓術(shù)”。他說(shuō)： “割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣�！�

這話(huà)的意思是：在圓內(nèi)作圓內(nèi)接正多邊形，從正 １２邊形、正 ２４邊形、正 ４８邊形、正 ９６邊形……邊數(shù)越多越接近于圓的周長(zhǎng)。

而這種圓內(nèi)接正多邊形的邊長(zhǎng)正好可利用圓的直徑來(lái)運(yùn)算。利用割圓術(shù)，劉徽求到圓內(nèi)接正 １９２邊形，圓周率為 π≈１５７５０＝３.１４。

后來(lái)，他還繼續(xù)求到圓內(nèi)接正 ３０７２邊形時(shí)，圓周率 π值≈３９２７１２５０＝３.１４１６。這個(gè)結(jié)果是當(dāng)時(shí)世界上最科學(xué)的一個(gè)數(shù)值�？梢�(jiàn)劉徽的 “割圓術(shù)”是一種十分先進(jìn)的方法。兩百多年后，祖沖之利用割圓術(shù)求得了更精密的圓周率。

劉徽還另外撰寫(xiě)了一章 “重差”，作為 《九章算術(shù)》 的第 １０卷。因其中第一題是一個(gè)測(cè)望海島山峰而推算它的高、遠(yuǎn)的問(wèn)題，所以后來(lái)的學(xué)者便將它從 《九章算術(shù)注》中分離出來(lái)，定名為 《海島算經(jīng)》。 《海島算經(jīng)》 標(biāo)志著我國(guó)古代幾何學(xué)的杰出成就：主要講述利用標(biāo)桿進(jìn)行兩次、三次以及更復(fù)雜的四次測(cè)量目標(biāo)物的高和遠(yuǎn)的計(jì)算方法。劉徽利用相似三角形的性質(zhì)，創(chuàng)造了一種 “重差術(shù)” （或稱(chēng)二重差分法），用來(lái)測(cè)量目標(biāo)物的距離、高度或深度等，從而構(gòu)成了我國(guó)古代地圖學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

《九章算術(shù)》 經(jīng)過(guò)劉徽的注釋?zhuān)�就更為系統(tǒng)和完善。在唐代它和 《海島算經(jīng)》 都被列為 《算經(jīng)十書(shū)》 之一，作為唐朝國(guó)子監(jiān)算學(xué)館 （相當(dāng)于國(guó)家設(shè)立學(xué)校中的數(shù)學(xué)科） 學(xué)生必讀的教科書(shū)。

在算完 “鳧雁問(wèn)題” 之后，劉徽便將 《九章算術(shù)注》 全部完成了。這是他從少年時(shí)接觸到這部書(shū)時(shí)立下的心愿。干完這件事后，他就將書(shū)稿交給朋友們?nèi)タ�刻，自己則像大雁南飛一樣，浪跡天涯去了。

劉徽后來(lái)還撰寫(xiě)了一卷 《九章重差圖》，可惜沒(méi)有流傳下來(lái)。

為了求得由底為直角三角形直棱柱分割而成的一個(gè)四棱錐與一個(gè)三棱錐的體積之比，他采用無(wú)限分割、逐次拼合的方法建立了 “劉徽原理”，這使得他在數(shù)學(xué)史上留下了不朽的一頁(yè)。

史書(shū)上劉徽無(wú)傳，近人據(jù)有關(guān)資料推測(cè)他是公元 ２２５—２９５年間的人士。 《宋史·禮》 中有關(guān)記載表明，宋徽宗大觀三年（１１０９年）曾敕封劉徽為淄鄉(xiāng)男的爵位，以表示對(duì)他的褒獎(jiǎng)。若依按籍貫封爵的慣例，可以推測(cè)他是淄鄉(xiāng) （今山東鄒平縣）人。

由于劉徽的成就，人們稱(chēng)他為 “中國(guó)的歐幾里得”。

閃亮數(shù)學(xué)界的小行星——— “祖沖之星”

南北朝劉宋孝武帝大明六年 （４６２年），對(duì)于年僅 ３３歲的祖沖之 （４２９—５００年）而言，是他人生歷程中關(guān)鍵性的一年。

這年一天的正午時(shí)分，祖沖之循例測(cè)量和記錄了銅表的日影，然后踱進(jìn)書(shū)房。他興致很高地喊： “!兒！來(lái)幫爹爹磨墨�！�

將近十歲的祖!之應(yīng)聲而來(lái)，捋起衣袖磨起墨來(lái)，邊磨墨邊看爹爹寫(xiě)字，在父親的點(diǎn)撥下，他已認(rèn)識(shí)不少字，這次，他認(rèn)識(shí)父親寫(xiě)下的頭行的三個(gè)字：“大明歷”。

祖沖之，是范陽(yáng)郡遒縣 （今河北淶源縣北） 人。他的祖父、父親都很喜愛(ài)數(shù)學(xué)，對(duì)于文學(xué)也很有研究。在家學(xué)的熏陶下，祖沖之從小就喜愛(ài)數(shù)學(xué)和天文歷法，后來(lái)又進(jìn)入華林學(xué)省學(xué)習(xí)并從事科學(xué)研究。南朝劉宋于元嘉二十二年 （４４５年） 頒用何承天制定的 《元嘉歷》。使用過(guò)幾年后，祖沖之發(fā)現(xiàn) 《元嘉歷》 比古代前十一家歷法嚴(yán)密一些，但祖沖之認(rèn)為還是有疏漏之處，于是從２３歲起他就決心修訂歷法。為此，祖沖之每天正午時(shí)刻都要測(cè)量圭表上的日影，來(lái)驗(yàn)證歷法的精確度。經(jīng)過(guò)整十年的觀察、測(cè)算，他發(fā)現(xiàn) “冬至所在，歲歲微差”，于是他就把歲差的存在應(yīng)用到歷法的編制中去。祖沖之測(cè)定歲差為 ４５年 １１月差 １度 （這與現(xiàn)代天文學(xué)測(cè)算的結(jié)果相比，只差 ５０.２秒，真是驚人�。�。祖沖之還測(cè)定舊歷法 １９年 ７閏不夠精確，那樣編歷每隔 ２２０年就會(huì)出現(xiàn) １天的誤差。于是，他認(rèn)為應(yīng)該采用新閏周，即 ３９１年安排 １４４個(gè)閏年，按新閏周每隔 １７３９年才會(huì)產(chǎn)生 １天的誤差。祖沖之還測(cè)算出：木星 （古代稱(chēng)為歲星） 每 ８４年超辰一次，即求出木星公轉(zhuǎn)周期為 １１.８５８年；回歸年長(zhǎng)度為 ３６５.２４２８日，與當(dāng)今測(cè)值只差萬(wàn)分之六日……經(jīng)過(guò)數(shù)十年不間斷的觀測(cè)，祖沖之終于制定了自己的歷法�，F(xiàn)在他決定把這歷法上呈給皇帝，并要求改用新歷，因?yàn)樵摎v法完成于孝武帝大明六年，故署名為 《大明歷》。年幼的祖!之所看到的，正是祖沖之寫(xiě)給孝武帝的奏章。

祖沖之請(qǐng)求改頒 《大明歷》的奏章放在孝武帝劉駿的案頭已經(jīng)好幾天了。孝武帝一直決斷不了，最后他決定在朝廷上作一次廷議，實(shí)際上是讓群臣們作一次辯論，再行決斷。

廷議時(shí)，開(kāi)始是祖沖之講述制定新歷的經(jīng)過(guò)，并詳盡講述《大明歷》處理歲差、采用新閏周的好處。祖沖之因是爛熟于心、深思熟慮，所以講得簡(jiǎn)明精要，很能說(shuō)服人。

祖沖之剛講完，主管歷法的大臣戴法興就猛地站起來(lái)，以權(quán)威的姿態(tài)說(shuō)： “太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，時(shí)慢時(shí)快，無(wú)規(guī)律可循，所以用什么歷法都行。再則，現(xiàn)行歷法為古代圣賢所創(chuàng)，已經(jīng)沿用了多少年，我看沒(méi)有必要改歷�！� 他還列舉了 《大明歷》 與古代歷書(shū)不同之處，指責(zé)祖沖之攻擊先賢。

祖沖之針?shù)h相對(duì)地說(shuō)： “戴大人開(kāi)口古歷、閉口古歷，似乎古人的歷法已十全十美，不可變絲毫。我也認(rèn)真研究過(guò)古歷，閱過(guò)唐篇、商典，它們也是經(jīng)過(guò)不斷修正的，既承襲尊重古人的成就，又發(fā)揚(yáng)光大古人的傳統(tǒng)。這說(shuō)明前人有疏漏之處，才要修正，古人自己都不迷信古人，我們何必還要迷信古人呢？”

戴法興惱怒起來(lái)： “放肆！即便要改歷，可這天上的日月星辰的快慢變化，也決不是凡夫俗子可以推算出來(lái)！”

祖沖之胸有成竹地答： “大人不必發(fā)怒。你說(shuō)過(guò)太陽(yáng)冬至日的位置在建星，年年如此，沒(méi)有差異。據(jù)我考證，這種說(shuō)法是戰(zhàn)國(guó)、秦漢時(shí)的偽造，戴大人可曾驗(yàn)證過(guò)嗎？至于太陽(yáng)現(xiàn)在的位置在哪里，我們可以按月食時(shí)月亮所在的位置來(lái)推算�！� 說(shuō)著，他翻開(kāi) 《太史令》上的月食記錄，對(duì)戴法興說(shuō)： “這四次月食，月亮所在的位置都有記錄。月食時(shí)，月亮在太陽(yáng)相對(duì)應(yīng)的位置上，這樣便可準(zhǔn)確地推算出太陽(yáng)的位置，與我的新歷法完全相符�？梢�(jiàn)，太陽(yáng)每年冬至日的位置都會(huì)有一些小小的差異。我們豈能迷信古書(shū)，而不管事實(shí)呢？”

無(wú)話(huà)可說(shuō)的戴法興干脆蠻橫地講： “歷法是古人制定的，代代相傳，萬(wàn)世不能更改。即使有差錯(cuò)，也應(yīng)該永遠(yuǎn)照用！”

對(duì)此，祖沖之用輕蔑的眼光看了看戴法興，接著面向孝武帝說(shuō)：“十九年七閏法已沿用幾百年了，與天象愈來(lái)愈不相符。在我之前，已有人發(fā)現(xiàn)過(guò)它的差錯(cuò)。如果古歷永不能改，即使有差錯(cuò)，不合天象，也不能改。那么豈不是說(shuō)先帝改頒何承天的 《元嘉歷》也不必要了嗎？那現(xiàn)在何不還是用漢代的歷法呢？”

祖沖之舉出先帝劉義隆改頒 《元嘉歷》的例證，使得戴法興啞口無(wú)言，再也不敢狡辯。孝武帝見(jiàn)自己寵臣戴法興的狼狽模樣，感到左右為難，便緩和一下氣氛，轉(zhuǎn)而問(wèn)另一位大臣巢尚文：“愛(ài)卿，你的意見(jiàn)如何？”

巢尚文很欽佩祖沖之的學(xué)識(shí)，見(jiàn)孝武帝詢(xún)問(wèn)他的意見(jiàn)，他躬身施禮后說(shuō)： “皇上，臣以為祖沖之的 《大明歷》 是有道理的，比古歷有許多好處。我還知道，祖沖之確實(shí)用新歷法計(jì)算過(guò)以往２３年的日月食發(fā)生的時(shí)間，每次計(jì)算結(jié)果都與史書(shū)記載的實(shí)情相符。今天祖沖之話(huà)急了一些，沖撞了戴大人，但他也是為國(guó)為民呀！”

巢尚文一席話(huà)實(shí)際上是希望孝武帝采用 《大明歷》，百官也大都稱(chēng)是。但戴法興一伙大臣硬不改口，孝武帝也不好當(dāng)場(chǎng)表態(tài)，便對(duì)祖沖之說(shuō)：“祖沖之，回去把你的理由寫(xiě)來(lái)，送朕一閱，再定�！�

退朝后，祖沖之心潮難平，連夜寫(xiě)成 《辯戴法興難新歷奏章》一文，呈上孝武帝。但是深受皇上寵信的戴法興竭力反對(duì)，所以 《大明歷》便一直被扣壓，不能頒用。祖沖之只有陷于長(zhǎng)期的等待之中。

雖然歲月沒(méi)按祖沖之的 《大明歷》來(lái)計(jì)算，但是祖沖之卻以新的成就來(lái)計(jì)算這等待的時(shí)日。自大明六年之后，祖沖之又干出許多成就。他仿照前朝的巧匠魯班、馬鈞制造出新型指南車(chē)，并用銅齒輪代替木齒輪；他制成一種水碓磨，利用水力來(lái)舂米磨粉；他發(fā)明一種千里船，可以日行百余里；為了天文測(cè)量計(jì)時(shí)的準(zhǔn)確，他改制了漏壺。更有哲理意味的是，祖沖之按孔子的解釋重新仿制了 “欹器”。欹器空時(shí)側(cè)倒，滿(mǎn)時(shí)也側(cè)倒，不多不少時(shí)就穩(wěn)穩(wěn)正正。這可給人以一種啟示，如飲酒時(shí)，若放一個(gè)欹器于座右邊，它將提醒你不要過(guò)與不及，古人又將欹器稱(chēng)為 “宥坐之器”。這足見(jiàn)祖沖之在機(jī)械制方面的才干與巧思。祖沖之還精通音律，有許多文史論著，如 《易老莊義》、 《論語(yǔ)考經(jīng)釋》 等，甚至寫(xiě)過(guò)小說(shuō) 《述異記》１０卷。然而，祖沖之最著名的論著是數(shù)學(xué)方面的，有 《綴術(shù)》、 《九章算術(shù)注》。 《綴術(shù)》 曾被隋唐國(guó)子監(jiān)用作算學(xué)課本，并傳入朝鮮、日本諸國(guó)使用，其中最有世界影響的，就是祖沖之對(duì)圓周率的推算。

祖沖之先后在南北朝的劉宋朝和南齊朝中擔(dān)任過(guò)南徐州 （今鎮(zhèn)江市） 從事史、公府參軍、婁縣 （今昆山縣東北） 令、謁者仆射、長(zhǎng)水校尉等官職。他是在就任謁者仆射之職時(shí)著手運(yùn)算圓周率的。這個(gè)職位要每天清晨進(jìn)宮，直到晚上才回家，負(fù)責(zé)引見(jiàn)臣下，傳達(dá)命令。所以祖沖之只能利用晚上的時(shí)間，在書(shū)房里精心運(yùn)算。

圓周率，在數(shù)學(xué)中稱(chēng)為 π值。我國(guó)的數(shù)學(xué)家，從古代起就開(kāi)始研究圓周率。公元前 １００多年的 《周髀算經(jīng)》 中記載： “周三徑一”即是說(shuō)圓周率了。西漢末年，劉歆得出圓周率是 ３.１５４７；東漢時(shí)，張衡算出圓周率是 ３.１６２２；三國(guó)時(shí)，東吳天文學(xué)家王蕃算出圓周率為 ３.１５５６。

到魏晉時(shí)期，著名數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)明了 “割圓術(shù)”，指出圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)逼近圓周長(zhǎng)，這圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越增加就越逼近圓周長(zhǎng)，其極限就是圓周長(zhǎng)。運(yùn)用這一方法，劉徽將圓周率算到 ３.１４１６，這已是相當(dāng)精確的數(shù)據(jù)了。面對(duì)前人這些成果，祖沖之做了更精確的運(yùn)算。

祖沖之是借鑒了劉徽的割圓術(shù)來(lái)推算圓周率的。起初，祖沖之畫(huà)了一個(gè)直徑 １丈的大圓，然后在圓內(nèi)畫(huà)了一個(gè)內(nèi)接正 １２邊形。用尺一量，每邊長(zhǎng) ２尺 ６寸多。為求精確，祖沖之采用勾股法來(lái)測(cè)算。因?yàn)閺膱A心到每邊的兩點(diǎn)正好構(gòu)成一個(gè)等腰三角形。

經(jīng)過(guò)運(yùn)算，祖沖之得出圓內(nèi)接正 １２邊形，每邊長(zhǎng) ０.２５８８１９丈，１２邊總長(zhǎng) ３.１０５８２８丈。

為了加快運(yùn)算的速度，祖沖之叫來(lái)兒子祖!之。祖!之已長(zhǎng)大成人，也繼承了家學(xué)，成為祖沖之得力的幫手。他們無(wú)限加大圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，從 ４８邊形、９６邊形、１９２邊形一直到１２２８８邊形。這時(shí)，在那直徑 １丈的圓形圖上要畫(huà)出 １２２８８邊形，已經(jīng)只能用針尖來(lái)標(biāo)點(diǎn)了，可以說(shuō)這一內(nèi)接正 １２２８８邊形已經(jīng)接近于圓形了。在此基礎(chǔ)上，祖沖之運(yùn)算出圓周率的不足近似值是３.１４１５９２６，圓周率的過(guò)剩近似值是 ３.１４１５９２７，即：

３.１４１５９２６＜π＜３.１４１５９２７圓周率已精確到小數(shù)點(diǎn)之后 ７位。

祖沖之還確定了圓周率的兩個(gè)分?jǐn)?shù)形式的近似值：約率 π＝２２７≈３.１４密率 π＝３５５１１３≈３．１４１５９２６直到 １０００年后，德國(guó)數(shù)學(xué)家?jiàn)W托和荷蘭工程師安托尼茲才得出與祖沖之相同的密率。于是數(shù)學(xué)界通稱(chēng)為 “安托尼茲率”，隨著我國(guó)古代燦爛的科技文化逐漸得到世界的公認(rèn)，日本數(shù)學(xué)家三上義夫建議將這一名稱(chēng)改稱(chēng)為 “祖率”。

公元 ５００年，劉宋王朝早為南齊王朝取代，祖沖之的 《大明歷》仍未頒用。這年，祖沖之帶著壯志未酬的心情離開(kāi)了人世。

這是南齊永元二年的事情。

祖沖之的兒子祖!之繼承了父業(yè)。若從祖沖之的祖父祖昌算起，直到祖!之的兒子祖皓，祖家可稱(chēng)得上數(shù)學(xué)、天文世家。祖!之幼年就是父親的幫手，長(zhǎng)大后也致力于數(shù)學(xué)和天文學(xué)的科研，他讀書(shū)和思考時(shí)非常專(zhuān)注，甚至不聞霹靂聲、走路撞到別人身上。在數(shù)學(xué)上，他與父親祖沖之共同解決了球體積的計(jì)算問(wèn)題。他所提出的推算球體積的原理，在數(shù)學(xué)上通稱(chēng)為 “祖!之公理”。祖沖之撰寫(xiě) 《綴術(shù)》 一書(shū)時(shí)，他起了很大的作用。祖!之還監(jiān)造過(guò)八尺銅日圭，測(cè)量日影長(zhǎng)度；他發(fā)現(xiàn)北極星與北天極不動(dòng)處相差一度有余，糾正了北極星就是北天極的錯(cuò)誤觀點(diǎn)。他也有許多論著傳世，現(xiàn)大多散佚了。

歷經(jīng)動(dòng)亂，在梁朝，祖!之歷任員外散騎郎、太府卿、南康太守、材官將軍、奉朝清等官職。因此，祖!之得以在梁武帝天監(jiān)三年、天監(jiān)八年、天監(jiān)九年三次上書(shū)，請(qǐng)求梁武帝頒行新歷。

《大明歷》經(jīng)祖!之修訂驗(yàn)證，被認(rèn)為是當(dāng)時(shí)最好的歷法，終于在天監(jiān)九年 （５１０年）正式頒用，實(shí)現(xiàn)了祖沖之的遺愿。

祖沖之一家堪稱(chēng)我國(guó)歷史上了不起的科學(xué)世家；祖沖之也堪稱(chēng)我國(guó)科技史上罕見(jiàn)的最博學(xué)多才的人。為了紀(jì)念和表彰祖沖之在科學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)，除將 “密率” 改稱(chēng)為 “祖率” 外，紫金山天文臺(tái)把該臺(tái)發(fā)現(xiàn)的一顆小行星命名為 “祖沖之星”，國(guó)際天文界還將月球背面的一座環(huán)形山命名為 “祖沖之山”。

中國(guó)科學(xué)史上的坐標(biāo)——— 《夢(mèng)溪筆談》

北宋仁宗天圣九年 （１０３１年），沈括誕生于一個(gè)官宦之家。

在知書(shū)識(shí)禮的母親許氏的撫育下，沈括從小就敏而好學(xué)，什么書(shū)都讀，打下了博雜的學(xué)識(shí)基礎(chǔ)。

沈括的父親沈周，杭州人，從縣令一直做到江南東路按察史、太常少卿，在宦海中沉浮了一輩子。沈括曾隨父親到過(guò)泉州、開(kāi)封、南京、蘇州，眼界開(kāi)闊，上到士大夫、山林隱者，下到商賈 醫(yī) 師、里 巷 小 人，什 么 人 都 請(qǐng) 教，積 累 了 豐 富 的 社 會(huì)見(jiàn)識(shí)。

沈括自幼就形成了終生受益的學(xué)風(fēng)，也在無(wú)意間為撰寫(xiě) 《夢(mèng)溪筆談》積累了素材。

汴京城有家酒店，店堂不大，但酒很好。他們賣(mài)的酒是在鄉(xiāng)間作坊專(zhuān)門(mén)釀造的，選用最好的雜糧、清純的泉水，所以酒味醇香，常常吸引許多酒客。

小店前酒壇特別多。為招攬酒客，老板常把酒壇像疊羅漢似的整齊地堆起來(lái)，而且每一層都比下一層少一 個(gè) 壇，像 個(gè) 金字塔。

這堆酒壇吸引了不少酒客。忽然，有個(gè)青年書(shū)生來(lái)到酒店。

老板想考考他：“客官，你知道這堆酒壇有多少個(gè)？”

青年書(shū)生說(shuō)： “我不需要數(shù)，只要你告訴我有幾層，每排有幾個(gè)壇子，我便可以一下子告訴你�！�

老板自忖，昨夜我數(shù)了半天，你就能一下算出來(lái)嗎？便說(shuō)：

“最上一層是四排，每排八個(gè)，第二層五排，每排九個(gè)……從上到下一共七排。”

老板話(huà)音剛完，那青年書(shū)生便應(yīng)答道： “總共有五百六十七個(gè)酒壇，對(duì)嗎？”

老板驚呆了，這正是他昨晚數(shù)得暈頭轉(zhuǎn)向的數(shù)字，他怎么一下子便算出了呢？于是立即請(qǐng)他進(jìn)店，并親自打開(kāi)一壇酒，為他斟上一滿(mǎn)碗，然后向他討教是用什么方法算出的。

青年回答： “中間第四層有七十七個(gè)壇子，乘上總層數(shù)七，再加上一個(gè)穩(wěn)定的數(shù)字二十八就行了。”

這書(shū)生就是青年沈括。他所解答的正是一道高級(jí)等差級(jí)數(shù)的求和問(wèn)題，后來(lái)他把這些都寫(xiě)進(jìn) 《隙積術(shù)》一書(shū)之中。